Vzorkování signálu a aliasing

Vzorkování signálu popisuje proces diskretizace signálu, kdy je určitý kontinuální signál převeden do digitální podoby.

Mějmě signál s průběhem, jako je zobrazeno na obr. 1, který má být vzorkován.

Sampling_1Obr. 1: Průběh vzorkovaného signálu [1]

Vzorkování signálu se pak provede tak, že se horizontální osa rozdělí na malé, stejně dlouhé úseky a v každém tomto malém úseku se zaznamená intenzita signálu, viz obr. 2, kde jsou zaznemenané hodnoty signálu znázorněny červenými tečkami.

Sampling_2Obr. 2: Vzorkování signálu [1]

Čím menší bude délka každého úseku, tím jemněji bude vzorkován signál, tím více detailů bude v obraze zaznamenáno. Stejný princip platí pro digitální detekci signálu, kdy je vzdálenost mezi vzorkovacími body dána vzdáleností mezi dvěma středy detekčních elementů. Na obr. 3 je tato vzdálenost označena jako „sampling pitch“.

Sampling_3Obr. 3: Vzorkování signálu při detekci digitálním detektorem [3]

Nyní mějme signál se sinusoidálním průběhem, jak je uvedeno na obr. 4 zelenou barvou. Na tomto obrázku jsou vzorkovací vzdálenosti znázorněny červenou barvou. Původní křivka je pak navzorkována pomocí černých bodů.

Sampling_4Obr. 4: Podvzorkování signálu [3]

Podíváme-li se na křivku, která vznikne vzorkováním původního signálu, vidíme, že průběh křivky je odlišný od původní. To je způsobeno právě podvzorkováním. Při podvzorkování dochází ke ztrátě vyšších frekvencí z obrazu, tj. navzorkovaný obraz neobsahuje tolik detailů, jako původní obraz.

Nyní víme, že podvzorkování se vyskytuje v případech, kdy obraz není dostatečně jemně „samplován“ neboli vzorkován k tomu, aby byly získány všechny frekvence v obraze bez zkreslení.

Vrátíme-li zpět k obr. 3, můžeme odvodit, že zobrazený signál má nejvyšší možnou frekvenci, která může být získána bez zkreslení – podvzorkování. Bude-li frekvence vyšší, tj. sinusoidální křivka bude „hustější“, dojde ke zkreslení, jak je uvedeno na obr. 4. Nejvyšší možná frekvence, kterou je možné z obrazu získat, je pak dána vzdáleností středů dvou sousedních pixelů. Bude-li tato vzdálenost menší, je možné provést jemnější vzorkování a získat více detailů (lepší detaily).

Označme vzdálenost středů dvou sousedních pixelů jako d. Pak nejvyšší možná frekvence v obraze, která bude navzorkována bez zkreslení, je dána vztahem F = 1/(2d). Tato frekvence se označuje jako Nyquistova frekvence.

Aliasing je zkreslení signálu způsobené podvzorkováním při diskretizaci signálu. Aby nedocházelo k alisaingu neboli zkreslení, musí být vzorkovací frekvence větší než dvojnásobek nejvyšší frekvence vyskytující se v obraze (Nyquistovo kritérium). Např. budeme-li mít detektor se vzdáleností mezi středy detekčních elementů d rovnou 200 mikrometrům, pak podle vztahu pro Nyquistovu frekvenci F = 1/(2d) platí, že nejmenší možná frekvence vzorkování je 2,5 mm-1. Každý detail v obraze, který odpovídá vyšší frekvenci, se objeví v obraze s nižší frekvencí. Jednoduše řečeno, takový detail se překlopí do nižších frekvencí.

Jako příklad mějmě detail s frekvencí 3,0 mm-1, přičemž Nyquistova frekvence nechť je 2,5 mm-1. Tento detail se „překlopí“ do frekvence 2,0 mm-1 (rozdíl 3,0 mm-1 – 2,5 mm-1 = 0,5 mm-1, Nyquistova frekvence je 2,5 mm-1, proto se detail objeví s frekvencí 2,5 mm-1 – 0,5 mm-1 = 2,0 mm-1). Bude se jednat o falešný signál v obraze. Tento detail na sebe „bere“ nižší frekvenci, přestrojuje se do nižší frekvence, neboli bere na sebe falešnou podobu = alias. Proto se tento jev nazývá aliasing.

Použitá literatura:
[1] https://cs.wikipedia.org/wiki/Vzorkován%C3%AD
[2] https://cs.wikipedia.org/wiki/Aliasing
[3] Bushberg JT, Seibert JA, Leidholdt EM, Boone JM. The essential physics of medical imaging. 3rd edition. Lippincott Williams & Wilkins, 2011, Philadelphia

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *